PHÒNG GD & ĐT HƯƠNG SƠN
TRƯỜNG THCS TT TÂY SƠN


ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG
Năm học: 2017 - 2018
Đề thi môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 120` (không kể thời gian giao đề)






Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức:

Rút gọn
.
Tính P khi
.
Tìm giá trị nguyên của
để
nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (4,0 điểm)
Giai các phương trình
a)

b)

Bài 3: (4,0 điểm)
Tìm các số nguyên
thỏa mãn:

Cho
, chứng minh:

Bài 4: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF.
Chứng minh: CM vuông góc với EF.
Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.
Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC là 3a2
Bài 5: (2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:
. Chứng minh rằng:











HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM
Bài 1: (4,0 đ)
Câu

Nội dung cần đạt



a
2đ





b. 1đ






c
1đ
ĐK:
:


Học sinh lập luận để tìm ra
hoặc



Bài 2: (4,0đ)
Câu
Nội dung

1.
(2,0đ)

ĐK:
:

, dấu “=” xẩy ra


, dấu “=” xẩy ra


(TMĐK), Vậy nghiệm của phương trình:


2.
(2,0đ)
Để phương trình có nghiệm thì :







Dễ dàng chứng minh được



Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}


Bài 3: (4,0đ)

Nội dung


Câua
2,0đ







Câub(2,0đ


(*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.

Vậy có 2 cặp số nguyên
hoặc





Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương:






Từ (1); (2); (3):






Bài 4: : (6,0đ)
Câu
Nội dung

a(2,0đ)



Ta có:

(cùng phụ với
)
Chứng minh được:
EDC =
FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn)

CE = CF


ECF cân tại C
Mà CM là đường trung tuyến nên CM
EF


b
(2,0đ)
Vì
EDC =
FBC
ED = FB

NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
BC2 = NB.BF
a2 = NB.DE (đpcm)
*
CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên


AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên


CM = AM
M thuộc đường trung trực của AC.
Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC

B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC (đpcm).

c(2,0đ)
SACFE = SACF + SAEF =



SACFE = 3.SABCD



Do x > 0; a > 0 ( 3a + x > 0

x = 2a

A là trung điểm của DE
AE = a
Vì AE //BC nên


N là trung điểm của AB.
Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD

Bài 5
(2 đ)

Theo Côsi ta có:
nên:




Tương tự ta có:

(2)

(3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:

(*)

Mặt khác:

Nên (*)
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi